Dodatek: Obwód RLC i Spice

Co powinienem umieć? 

• równania różniczkowe i liczby zespolone
• prawa Kirchoffa  (podstawy elektrotechniki)

1.Od Autora

Aby w pełni zrozumieć działanie powstawania drgań w obwodach nie mogłem sobie odmówić, aby nie wspomnieć o układzie RLC, który stanowi fundamentalną część generatora. Co ciekawe, obwód RLC po za tym, że jest zwykłym układem elektrycznym, potrafi świetnie wytłumaczyć fenomen jaki miał miejsce w latach 40. Mianowicie chodzi tu o "Tacoma Bridge". Dla niewtajemniczonych odsyłam do serwisu YouTube z hasłem "Tacoma Bridge collapse", Filmik jest warty uwagi i świetnie obrazuje zjawisko rezonansu oraz jego efekty w świecie mechanicznym (w tym wypadku zawalenie się mostu). Tak jak już wcześniej wspominałem, równania, które przedstawię w tym artykule, częsciowo odnoszą się do świata mechaniki klasycznej.

Podstawy jakie zaprezentuję, pozwolą nam lepiej zrozumieć od czego, zależy amplituda drgań w obwodzie rezonansowym oraz wytłumaczą po co wgl. stosuje się elementy aktywne. Czy nie dałoby się zbudować generatora sinusoidalnego bez elementu aktywnego np: tranzystora ?

 

2.Równoległy obwód RLC

Na rys.1 przedstawiono równoległy obwód RLC, który poddamy analizie czasowej i spróbujemy znaleźć funkcje, która opisze przebieg napięcia w czasie.

 

Rys.1 Równoległy obwód RLC

Zacznijmy od zrobienia najprostszej możliwej rzeczy. Zapiszmy równania Kirchoffa dla powyższego obwodu:

I1=iR+iL+iC

Spróbujmy teraz skorzystać z pewnych zależności i je podstawić do powyższego wzoru:

Teraz powyższe dane możemy, wstawić do naszego ogólnego równania Kirchoffa:



Całka jest czymś co nie zaciekawie wygląda.Dlatego też spróbujmy jej się pozbyć, dzięki czemu uzyskamy prostszą postać. Kolejnym krokiem jest zróżniczkownie równania względem czasu w wyniku czego pozbędziemy się stałej I1 i całki.




Spróbujmy pozbyć się  pojemności, która stoi przy wyrazie o najwyższym rzędzie. Dlatego też podzielmy równanie przez C i zobaczmy co uzyskamy.



Czyż nie widać tu naszego starego znajomego? Otóż to, widoczna jest tu omega kwadrat (1/LC). Jest to nasz składnik, który w głównej mierze odpowiada za częstotliwość rezonansową obwodu. Spróbujmy teraz dalej pomaglować wzorem. Podstawmy za pochodną po czasie literkę M. W konsekwencji uzyskamy poniższe równanie.



Czy to coś przypomina? Owszem, jest to równanie kwadratowe, które wielokorotnie jest przerabiane w szkole średniej. Zatem spróbujmy je rozwiązać, tak jak to się robiło.





Wszystko pięknie, ale co się stanie gdy wklepiemy do kalkulatora powyższe wzory, podstawiając dane z naszego obwodu z rys.1. Ano uzyskamy 'error'. Nie można obliczyć pierwiastka z liczby ujemnej!. I tu Drogi czytelniku dochodzimy do ważnej rzeczy. Przy rozwiązywaniu równania należałoby zadać pytanie z jakim typem drgań mamy do czynienia? "Bawiąc się" deltą możemy zaobserwować 4 typy drgań. Na razie załóżmy, że dla powyższego typu obwodu można zaobserwować 3 typy drgań:

Drgania krytycznie tłumione, gdy:


Drgania silnie tłumione (overdamped), gdy:


Drgania oscylacyjne gasnące(underdamped), gdy:


Mając te 3 warunki możemy z łatwością określić jakiego typu drgań będziemy się spodziewać w naszym obwodzie. Odpowiedź brzmi - oscylacyjne drgania gasnące. Zanim przejdę do dalszej części, wprowadzę nowe oznaczenia.







Teraz należałoby zadać sobie pytanie jakiego równania się spodziewamy? W książce do analizy matematycznej znajdujemy, że rozwiązanie równania różniczkowego drugiego rzędu ma następującą postać.



Z tymi współczynnikami związana jest nasza amplituda. Więc kolejnym krokiem będzie wyznaczenie ich. Wiedząc, że w chwili załączenia obwodu (t=0) kondensator stanowi dla źródla prądu zwarcie, zapiszmy równanie. Tzn. za czas podstawmy 0 oraz całe równanie przyrównujemy do 0.



Z równania zatem wynika, że nasz C1=0. Skoro tak, to równanie przyjmuje następującą postać.



Ale co dalej? Skoro nie wiadomo co robić, spróbujmy policzyć pochodną powyższego wzoru.



Teraz należałoby sobie zadać pytanie, przy jakim elemencie mamy du/dt? Jeśli myślisz Drogi czytelniku o kondensatorze to brawo Ty!.



I teraz współczynniki przyrównajmy do naszej pochodnej napięcia po czasie.



Z powyższego wzoru możemy wyznaczyć C2.




I oto mamy wzór na maksymalną amplitudę oraz funkcję opisującą przebieg napięcia w czasie. Maksymalna amplituda wyliczona dla tego obwodu po podstawieniu danych wynosi około 100V. Sprawdźmy to!.

3. Analiza równoległego obwodu w LTSpice

Budujemy układ jak na rys.1 w LTSpice i przechodzimy do konfiguracji symulacji. Wpisujemy parametry jak na rys.2

Rys.2

Po skonfigurowaniu odpalamy symulacje i zaznaczamy sondą pomiar napięcia. Jak widać na rys.3, uzyskaliśmy przebieg zgodny z naszymi obliczeniami. Amplituda maksymalna jest bliska 100V i jest tłumiona w czasie

Rys.3

4. Podsumowanie

Obiecałem, że wspomnę o 4 rodzaju odpowiedzi układu RLC. Jest to przypadek idealny, gdy R jest nieskończenie duże. Gdyby spełnić tą zależność, uzyskalibyśmy oscylacje, które wogóle nie byłyby tłumione. To znaczy funkcja wykładnicza, która odpowiada za tłumienie sprowadziłaby się do wartości 1. Uzyskalibyśmy swego rodzaju generator przebiegu sinusoidalnego. Niestety z przyczyn oczywistych ten warunek nigdy nie będzie spełniony, bo nie ma elementów idealnych. Rzeczywiste komponenty elektryczne zawsze zwierają elementy pasożytnicze. Ale gdyby tak ten współczynnik tłumienia dało się skompensować... I tu z pomocą przychodzi model generatora zbudowanego przy wykorzystaniu ujemnej rezystancji! W przyrodzie często jest tak, że istnieją dwie przeciwne siły. Skoro jedna odpowiada za tłumienie, to musi istnieć jakaś druga przeciwna. Rozwiązanie to zaprezentował Leo Chua, wprowadzjaąc nielinowy element wzmacniający.

Zachęcam Cię Drogi czytelniku do eksperymentów z innymi wartościami RLC. Naprzykład proponuje dobrać tak elementy, żeby uzyskać drgania krytycznie tłumione i następnie wyznaczyć wzór dla tego przebiegu w czasie. Ponadto zachęcam  do zmiany równoległego obwodu na szeregowy w celu zaobserwowania pewnych różnic. Jedną z takich podstawowych  jest to, że gdy chcemy uzyskać w równoległym obwodzie drgania gasnące, to staramy się aby, rezystancja nieskończenie duża, natomiast, w przypadku szeregowego RLC chcemy, aby była jak najmniejsza. Nie przypadkowo w wielu układach radiowych stosuje się transformator separujący, którego celem jest eliminacja bezpośredniego wpływu obciążenia na obwód RLC. Wszystko to wynika z właściwości, które analizowaliśmy.