sobota, 17 marca 2018

Dodatek: Obwód RLC i Spice

Co powinienem umieć? 
  • równania różniczkowe i liczby zespolone
  • prawa Kirchoffa  (podstawy elektrotechniki)

1.Od Autora

Aby w pełni zrozumieć działanie powstawania drgań w obwodach nie mogłem sobie odmówić, aby nie wspomnieć o układzie RLC, który stanowi fundamentalną część generatora. Co ciekawe, obwód RLC po za tym, że jest zwykłym układem elektrycznym, potrafi świetnie wytłumaczyć fenomen jaki miał miejsce w latach 40. Mianowicie chodzi tu o "Tacoma Bridge". Dla niewtajemniczonych odsyłam do serwisu YouTube z hasłem "Tacoma Bridge collapse", Filmik jest warty uwagi i świetnie obrazuje zjawisko rezonansu oraz jego efekty w świecie mechanicznym (w tym wypadku zawalenie się mostu). Tak jak już wcześniej wspominałem, równania, które przedstawię w tym artykule, częsciowo odnoszą się do świata mechaniki klasycznej.

Podstawy jakie zaprezentuję, pozwolą nam lepiej zrozumieć od czego, zależy amplituda drgań w obwodzie rezonansowym oraz wytłumaczą po co wgl. stosuje się elementy aktywne. Czy nie dałoby się zbudować generatora sinusoidalnego bez elementu aktywnego np: tranzystora ?

 

2.Równoległy obwód RLC

Na rys.1 przedstawiono równoległy obwód RLC, który poddamy analizie czasowej i spróbujemy znaleźć funkcje, która opisze przebieg napięcia w czasie.

Rys.1 Równoległy obwód RLC

Zacznijmy od zrobienia najprostszej możliwej rzeczy. Zapiszmy równania Kirchoffa dla powyższego obwodu:

I1=iR+iL+iC

Spróbujmy teraz skorzystać z pewnych zależności i je podstawić do powyższego wzoru:





Teraz powyższe dane możemy, wstawić do naszego ogólnego równania Kirchoffa:



Całka jest czymś co nie zaciekawie wygląda.Dlatego też spróbujmy jej się pozbyć, dzięki czemu uzyskamy prostszą postać. Kolejnym krokiem jest zróżniczkownie równania względem czasu w wyniku czego pozbędziemy się stałej I1 i całki.




Spróbujmy pozbyć się  pojemności, która stoi przy wyrazie o najwyższym rzędzie. Dlatego też podzielmy równanie przez C i zobaczmy co uzyskamy.



Czyż nie widać tu naszego starego znajomego? Otóż to, widoczna jest tu omega kwadrat (1/LC). Jest to nasz składnik, który w głównej mierze odpowiada za częstotliwość rezonansową obwodu. Spróbujmy teraz dalej pomaglować wzorem. Podstawmy za pochodną po czasie literkę M. W konsekwencji uzyskamy poniższe równanie.



Czy to coś przypomina? Owszem, jest to równanie kwadratowe, które wielokorotnie jest przerabiane w szkole średniej. Zatem spróbujmy je rozwiązać, tak jak to się robiło.





Wszystko pięknie, ale co się stanie gdy wklepiemy do kalkulatora powyższe wzory, podstawiając dane z naszego obwodu z rys.1. Ano uzyskamy 'error'. Nie można obliczyć pierwiastka z liczby ujemnej!. I tu Drogi czytelniku dochodzimy do ważnej rzeczy. Przy rozwiązywaniu równania należałoby zadać pytanie z jakim typem drgań mamy do czynienia? "Bawiąc się" deltą możemy zaobserwować 4 typy drgań. Na razie załóżmy, że dla powyższego typu obwodu można zaobserwować 3 typy drgań:

Drgania krytycznie tłumione, gdy:


Drgania silnie tłumione (overdamped), gdy:


Drgania oscylacyjne gasnące(underdamped), gdy:


Mając te 3 warunki możemy z łatwością określić jakiego typu drgań będziemy się spodziewać w naszym obwodzie. Odpowiedź brzmi - oscylacyjne drgania gasnące. Zanim przejdę do dalszej części, wprowadzę nowe oznaczenia.







Teraz należałoby zadać sobie pytanie jakiego równania się spodziewamy? W książce do analizy matematycznej znajdujemy, że rozwiązanie równania różniczkowego drugiego rzędu ma następującą postać.



Z tymi współczynnikami związana jest nasza amplituda. Więc kolejnym krokiem będzie wyznaczenie ich. Wiedząc, że w chwili załączenia obwodu (t=0) kondensator stanowi dla źródla prądu zwarcie, zapiszmy równanie. Tzn. za czas podstawmy 0 oraz całe równanie przyrównujemy do 0.



Z równania zatem wynika, że nasz C1=0. Skoro tak, to równanie przyjmuje następującą postać.



Ale co dalej? Skoro nie wiadomo co robić, spróbujmy policzyć pochodną powyższego wzoru.



Teraz należałoby sobie zadać pytanie, przy jakim elemencie mamy du/dt? Jeśli myślisz Drogi czytelniku o kondensatorze to brawo Ty!.



I teraz współczynniki przyrównajmy do naszej pochodnej napięcia po czasie.



Z powyższego wzoru możemy wyznaczyć C2.




I oto mamy wzór na maksymalną amplitudę oraz funkcję opisującą przebieg napięcia w czasie. Maksymalna amplituda wyliczona dla tego obwodu po podstawieniu danych wynosi około 100V. Sprawdźmy to!.


3. Analiza równoległego obwodu w LTSpice

Budujemy układ jak na rys.1 w LTSpice i przechodzimy do konfiguracji symulacji. Wpisujemy parametry jak na rys.2
Rys.2

Po skonfigurowaniu odpalamy symulacje i zaznaczamy sondą pomiar napięcia. Jak widać na rys.3, uzyskaliśmy przebieg zgodny z naszymi obliczeniami. Amplituda maksymalna jest bliska 100V i jest tłumiona w czasie

Rys.3

4. Podsumowanie


Obiecałem, że wspomnę o 4 rodzaju odpowiedzi układu RLC. Jest to przypadek idealny, gdy R jest nieskończenie duże. Gdyby spełnić tą zależność, uzyskalibyśmy oscylacje, które wogóle nie byłyby tłumione. To znaczy funkcja wykładnicza, która odpowiada za tłumienie sprowadziłaby się do wartości 1. Uzyskalibyśmy swego rodzaju generator przebiegu sinusoidalnego. Niestety z przyczyn oczywistych ten warunek nigdy nie będzie spełniony, bo nie ma elementów idealnych. Rzeczywiste komponenty elektryczne zawsze zwierają elementy pasożytnicze. Ale gdyby tak ten współczynnik tłumienia dało się skompensować... I tu z pomocą przychodzi model generatora zbudowanego przy wykorzystaniu ujemnej rezystancji! W przyrodzie często jest tak, że istnieją dwie przeciwne siły. Skoro jedna odpowiada za tłumienie, to musi istnieć jakaś druga przeciwna. Rozwiązanie to zaprezentował Leo Chua, wprowadzjaąc nielinowy element wzmacniający.


Zachęcam Cię Drogi czytelniku do eksperymentów z innymi wartościami RLC. Naprzykład proponuje dobrać tak elementy, żeby uzyskać drgania krytycznie tłumione i następnie wyznaczyć wzór dla tego przebiegu w czasie. Ponadto zachęcam  do zmiany równoległego obwodu na szeregowy w celu zaobserwowania pewnych różnic. Jedną z takich podstawowych  jest to, że gdy chcemy uzyskać w równoległym obwodzie drgania gasnące, to staramy się aby, rezystancja nieskończenie duża, natomiast, w przypadku szeregowego RLC chcemy, aby była jak najmniejsza. Nie przypadkowo w wielu układach radiowych stosuje się transformator separujący, którego celem jest eliminacja bezpośredniego wpływu obciążenia na obwód RLC. Wszystko to wynika z właściwości, które analizowaliśmy.

poniedziałek, 12 marca 2018

Projektowanie oscylatora sinusoidalnego na przykładzie generatora Colpitts'a w układzie WE

1.Od autora

Kiedy zaczynałem przygodę z elektroniką nakupowałem sobie pełno ciekawych książek. Bardzo ciekawiły mnie rozdziały odnośnie generatorów sinusoidalnych, szczególnie iż były one znakomitą podstawą teoretyczną do budowy zabawkowych nadajników do podsłuchiwania innych domowników ;). Drogi czytelniku, użyłem tutaj słowa "rozdziały" nieprzypadkowo. Bardzo zaciekawiła mnie fizyka powstawania drgań w układach elektronicznych. Tą spiralę ciekawości jeszcze bardziej nakręcał fakt, że to co się dzieje w elektronice, bardzo pięknie można odnieść do świata mechaniki klasycznej. Dobrym przykładem tego jest wahadło matematyczne i obwód RLC. Gdy po raz pierwszy rozpisałem sobie równania różniczkowe obwodu RLC zobaczyłem ogromne podobieństwo do tego co nam wpajano do głowy przez lata na fizyce. Niestety, zagadnieniom drgań w owych książkach, autorzy poświęcali bardzo mało uwagi . Po przeczytaniu rozdziału o generatorach miałem wrażenie, że ten temat dla mniej dalej jest nie do końca zrozumiały. Również przeglądając i przeczesując wiele forów internetowych i stron, miało się wrażenie, że nie wszyscy do końca rozumieją co warunkuje drgania i jak one powstają. Chciałbym aby ten artykuł dał swego rodzaju narzędzia do projektowania własnych oscylatrów sinusoidalnaych i żeby stanowił pewne uzupełnienie tego co można znaleść na stronach o podstawach elektroniki. W tym artykule chciałbym przedstawić analizę, która pozwoli nam wyznaczyć wzór na częstotliwość oraz opis, który nam powie co musimy spełnić, aby otrzymać sprawny generator przebiegu sinusoidalnego. Ponadto na końcu zwrócę uwagę na pewien problem, który jest omijany szerokim łukiem, a który zostanie dokładnie opisany w kolejnym artykule. Problem ten dał mi inspirację własnie do napisania tych dwóch artykułów.

2.Zabawę czas zacząć!

Układem, który weźmiemy na nasz warsztat będzie układ Colpitts'a w układzie wspólny emiter. Układ ten został przedstawiony na rys.1.


Rys.1 Schemat generatora Colpitts'a

Na pierwszy rzut oka schemat wygląda strasznie i zawile. Ale należy tutaj zaznaczyć, że schemat możemy uprościć poprzez pewne założenia. Otóż podczas analizy AC zakładamy, że kondensator stanowi zwarcie dla składowej zmiennej, a cewka RFC( radio frequency choke) rozwarcie. Dla naszych potrzeb te elementy możemy narazie całkowicie pominąć uproszczając schemat do postaci x rys.2.
Rys.2 Uproszczony schemat generatora Colpitts'a

Po uproszczeniu schemat staje się bardziej przejrzysty. Tu zaczyna się nasza zabawa, chcemy zrozumieć jak układ tak naprawdę działa i jak zabrać się wgl. za analizę elektryczną takiego obwodu. Zanim zaczniemy analiżę obwodu, należałoby wspomnieć o warunkach Barkhausena. 

3.Warunki Barkhausena

Tak... masz rację drogi czytelniku, nazwa przyprawia o gęsią skórkę.Ale nie diabeł taki straszny jak go malują. W powyższym układzie realizujemy tak naprawdę dodatnie sprzężenie zwrotne, które z powrotem idzie na wejście naszego wzmacniacza tranzystorowego.Ale kim, bądź czym są te warunki Barkhausena?. Otóz Barkhausen był to Pan, który zdefiniował dwa warunki, które muszą zostać spełnione przy dodatnim sprzężeniu zwrotnym, aby układ zaczął nam drgać(wzbudzać się). Jak na ironię losu ta cecha jest nieporządana, gdy budujemy wzmacniacze audio. Często jednak nie będąc świadomi tego spełniamy je...
  • warunek amplitudy 
  •  
 Beta jest to tłumienie wprowadzane przez nasz układ, natomiast K jest to wzmocnienie naszego wzmacniacza. Otóż gdy sprawimy, że Beta*K będzie równa 1 to w mianowniku uzyskamy "0". Czyli całość będzie dążyć do nieskończoności. I to jest ta niestabilność, którą chcemy uzyskać. Chcemy, aby straty (tłumienie) wprowadzane przez nasz rzeczywisty obwód były kompensowane przez element aktywny jakim jest wzmacniacz tranzystorowy. To zapewni, że drgania nie będą nam gasnąć.

  • warunek fazy  
  •  
Warunek fazy mówi nam, że musimy zbudować taki układ, którego całkowite przesunięcie sygnału będzie wynosić 0 stopni lub 360 stopni. W naszym przypadku układ LC wprowadza przesunięcie o 180 stopni oraz kolejne przesunięcie o 180 stopni wprowadza nasz układ wzmacniacza WE, czyli razem mamy 360 stopni. Jak widać warunek fazy spełniamy. To by było na tyle co do warunków generacji. Będę z nich korzystać przy analizowaniu obwodu w kolejnym rozdziale. Od teraz Drogi czytelniku, możesz u cioci na imieninach zabłysnąć ciekawym pojęciem.

3.Analiza open loop, czyli wracamy na pole bitwy

Co jest charakterystycznego w obwodzie z rys.2? Nasze wyjście z wzmacniacza tranzystorowego idzie do obwodu LC, następnie sygnał jest zbierany stamtąd i zawracany z powrotem na wejście wzmacniacza. Ta obserwacja nam posłuży do jednej z 2 sztuczek jakie musimy wykonać przed rozpoczęciem analizy. Po pierwsze zapisujemy obwód tak jak widzi go składowa AC i rozcinamy obwód w miejscu gdzie był kondensator C3, łączący obwód LC z wejściem bazy tranzystora. W efekcie uzyskujemy schemat jak na rys.3
Rys.3 Obwód dla składowej zmiennej


Teraz Drogi czytelniku jest pora, abyś przypomniał sobie metodę potencjałów węzłowych, gdyż to właśnie za jej pomocą wyprowadzimy transmitancję powyższego układu, a mianowicie tej części gdzie znajduje się obwód LC.


Na podstawie układu z rys.3 możemy zapisać:
Kolejne wzorki to będą teraz przekształcenia powyższego układu równań tak aby uzyskać jakąś sensowną postać. Możesz czytelniku krok po krok prześledzić skąd to wszystko się wzięło.


Teraz przygotowujemy się do pozbycia niewiadomej Vc.



Pozbywamy się Vc i otrzymujemy:





Teraz obie strony dzielimy przez sL i uzyskujemy:


Teraz obie strony mnożymy przez R i uzyskujemy:


Porządkujemy i dzielimy prez  /:RC1C2L


No i wreszcie możemy zapisać postać naszej transmitancji:



3.Analiza closed loop, jeszcze walczymy

Więdząc, że zachodzą takie prawidłowości:


Możemy zapisać:




Zatrzymałęm się tu gdyż, widoczny jest tutaj nasz stary znajomy. Mianowicie wzór na częstotliwość rezonansową w^2=(C1+C2)/C1C2L. Pewnie czytelniku kojarzysz go pod inną znaną postacią z książki lub artykułów:

I tak oto uzyskaliśmy jeden z ważniejszych wzorów projektowych. Czas dokończyć nasze wyprowadzenie, aby otrzymać  wzór odpowiedzialny za warunek amplitudowy.







I oto jest wyprowadzony wzór, który nieraz można znaleźć w artykułach na anglojęzycznych stronach. Aby był spełniony warunek amplitudy, wzmocnienie naszego obwodu musi być równe stosunkowi pojemności(w praktyce wzmocnienie jest nieco większe niż by to wynikało ze stosunku). Czyli wzmocnienie dobieramy w zależności od stosunku C2 i C1. Dalej już jest tylko z górki. Mając określone wzmocnienie, możemy dobrać odpowiedni dla nas punkt pracy przeprowadzając analizę stałoprądową.

4.Co dalej?

Większość osób skończyłaby na tych wyprowadzeniach. Natomiast ja pozostawie Ciebie drogi czytelniku z pewnym pytaniem i niedosytem, które spowodowało, że zainteresowałem się drganiami w układach fizycznych. Pytanie brzmi: jaką amplitudę będzie miał przebieg sinusoidalny po ustabilizowaniu się drgań? Nie przejmuj się, że nie umiesz odpowiedzieć na to pytanie. To jest powód, który zmusza mnie do napisania 2 części artykułu odnośnie projektowania obwodów drgających.

Copyright 2018 by Maciej Nikiforuk